寻找勾股数

勾股数, 是指满足方程的三个正整数组成的数组, 寻找勾股数是一个非常古老的问题.

我们来试着写出所有的勾股数.

若有一组正的勾股数, 则是单位圆在第一象限的点, 是相应的辐角, 那么 都是正有理数,

但最关键的是 也是有理数.

它可以看成是点与点连线的斜率, 因此该斜率是有理数. 反过来, 如果已经知道 是有理数, 那么由万能公式得到 也都是有理数.

也就是说如果点与点连线的斜率是有理数, 则直线与单位圆的交点横纵坐标也是有理数.

这样就建立起了单位圆周上第一象限的有理点和区间 中的正有理数的一一对应关系.

而单位圆周第一象限的有理点满足方程,勾股数满足方程.

这两者之间是可以互相转化的.

如果规定是没有公约数的，并且,那么只需要考虑辐角在的有理点（此时斜率为），这时有理点和勾股数两者是一一对应的.

综上所述，只要在区间中取遍所有的有理数，便可以对应找到所有的勾股数.

如果设, 那么通分就得到

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