海岸线有多长？这个问题的答案会因提问的人以及他们的测量方式得到不同的答案. 甚至一个“无限”的长度也是一个合理的答案！这就是所谓的“海岸线悖论”.
正如本系列的前一个挑战中介绍的那样，对维度的理解可以对海岸线悖论有所了解. 下面我们先来看看如何测量曲线及其与尺寸的关系.
我们可以通过一个简单的过程来估算平滑曲线的长度：拿一把尺子，用直线段来估算. 随着你使用越来越短的标尺，答案会越来越准确. 这个方法有效的原因是，如果你观察曲线的一部分，它实际上是很直的.
但锯齿状的海岸线不是这样的. 即使我们放大它的一小部分，它也不是那么直. 当我们仔细观察时，会发现更多粗糙的边缘. 因此，即使我们使用越来越小的尺子，海岸的长度也不会收敛到一个固定的值，它只会越来越大.
所以海岸线的长度是无限的吗？如果不管我们多么仔细地观察海岸都是锯齿状的，那么根据上面的推理，是的，它是无限的. 但在实践中，当你达到非常非常小的长度时，在现实世界中的事物往往会变得平滑. 然而，由于我们通常不使用电子显微镜测量海岸线，因此这个悖论是真实存在的，对我们如何谈论粗糙边缘的测量产生了真正的影响.
在处理这样的锯齿状表面时，我们如何量化它的锯齿状？这就是维度概念的由来.
平滑直线是一维的 (D=1）. 那是因为如果你用比它短一倍的尺子测量它（S=2)，需要测量两次 (C=2）. 我们可以在这张图片中看到这种缩放在起作用.
这满足我们在本系列的前一个挑战中找到的关于维度的方程：
那么锯齿状的海岸线是多少维度呢？