砝码问题

能否找到一组砝码, 满足下面两个条件：

（1） 能称量从1克到3280克的所有整数克的物品, 但砝码的总质量不能超过3280克.

（2） 砝码的数量尽量要少, 要求不超过8个砝码.

这个问题其实可追溯到 17 世纪法国数学家梅齐里亚克 (Meziriac, 1624) , 在他的名著中解答了用4个砝码称量1克到40克物品的问题.

现在的问题是称量1克到3280克的所有整数克物品, 答案是：

下面来具体分析一下：

用天平称量物体实际上是把物体放在一个托盘上, 然后在两个托盘上分别加上适当的砝码, 使得天平保持平衡, 这时物体的质量就等于这两个托盘上砝码各自质量之和的差值. 这样一来, 砝码组合问题就转变成纯数学的整数最优拆分问题了：

如何将3280分解成一些较小的数（正整数, 下同）, 取出一部分这些数（每一个数在一次运算中只能使用一次, 即满足砝码的唯一性）进行或加或减的运算就能得到一个新的数. 而且用这种方法得到的数集里必须包含了从1到3280的所有正整数.

（1） 首先让我们来看理论上能不能做到. 假设这样的一组数存在, 我们设为n个, 从小到大分别为：即：（n为正整数）现在我们来看这一组数是如何组成一个新的数的.

(其中的取值只能是这三个数, n是正整数)

根据要求, 我们知道这一组数必须满足下面这些条件：

①

当到取完所有的可能值时, 至少能产生3280个数字 , 而这些数字里还必须有1至3280的所有正整数. ②

式子②所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题, 每个都有三种取值的可能, 所以所能组成的数字的总个数. 这些数字中有0, 有正整数, 也有负整数, 由于对称性, 正整数和负整数的个数是一样多的. 所以实际产生的正整数的总个数应该是：.

设 （如果此式能成立, 则刚好能产生1到3280的所有正整数）

即：.

解之得：

这就从理论上证明了3280能分成8个较少的数字, 并且从这8个数字中取出m(的正整数)个进行或加或减所生成的所有正整数刚好就是1至3280的所有自然正整数.

（2） 既然理论上是可以做到的, 那我们就实际来做一做.

显然： , 因为1是自然数的始祖, 少了它肯定不行.

那么是多少呢？与1可以组成的数字：, 显然, 解之得：

有了1和3这两个数字我们就能产生数字：

增加后, 我们又能增加这些数：

同理, 解之得：

同理我们可以得到

现在让我们验证方程①是否成立,

方程①成立.

到此我们不但在理论上而且在实际上也找到了这8个数字了, 它们分别是

参考文献：

[1]. 鲍得海. 世界上最完美的砝码组合. https://blog.sciencenet.cn/blog-5190-51860.html