最近有一部很火的电视剧叫《天才基本法》, 里面出现了这样一道数学题.
例 1 ( 工人分金 )
一位老板有一根金条用于支付他的工人一周共7天的工作, 他每天需要给工人一段金条来结账, 不能赊账也不能多付,
那么金条最少切割多少次才能实现这一目标？
这道题很经典, 被称为工人分金问题. 本文我们先给出答案, 然后通过对问题的分析找到这类问题的一般解法.
答案是这样的：将金条切割2次分成3段, 每段的长度分别是这根金条的
具体操作如下：
第一天：给工人段金条；
第二天：给工人段, 同时把昨天的段要回来；
第三天：把段给工人, 这样工人手中就是段了；前3天共
第四天：把段给工人, 同时把工人手中的段要回来；
第五天：把段给工人, 这样工人手中就是段了；前5天共
第六天：段给工人, 同时把工人手中的段要过来；前6天共
第七天：把段给工人, 这样整根金条都给工人了. 前7天共
那么这类问题怎么思考呢？我们来分析一下.
分几段
在工人分金例 1这个问题里, 问至少需要用几段金条才可以付清每天的工资, 而且这几段加起来就是整根金条.
那么前天总共需要给工人段金条. 为到之间的整数.
所以问题就是需要将分解成一些较小的数, 取出一部分数进行加法运算, 就可以得到一个到之间的整数.
假设这样的一组数存在, 我们设为个, 从小到大分别为：
即：(为正整数)现在我们来看这一组数是如何组成一个新的数的.
(其中的取值只能是这个数, 是正整数)
根据要求, 我们知道这一组数必须满足下面这些条件：
......方程(1)
......式子(2)
当到取完所有的可能值时, 至少能产生7个数字 , 而这些数字里还必须有1至7的所有正整数.
式子(2)所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题, 每个都有种取值的可能,
所以所能组成的数字的总个数. 这些数字中有, 有正整数.
那么实际产生的正整数的总个数应该是：.
设 (如果此式能成立, 则刚好能产生1到7的所有正整数)
即：.
解之得：
这就从理论上证明了能分成个较少的数字, 并且从这个数字中取出(的正整数)个进行或加法运算所生成的所有正整数刚好就是至的所有自然正整数.
分哪几段
下面就具体的求出这个数.
显然： , 因为是自然数的始祖, 少了它肯定不行.
那么是多少呢？与1可以组成的数字：, 显然
有了和这两个数字我们就能产生数字：
增加后, 我们又能增加这些数：
因此
现在让我们验证方程(1)是否成立,
方程(1)成立.
所以应该将7个单位长的金条分成段, 而这里恰好就是
那么现在如果这跟金条是个单位长度, 老板至少需要将金条分成几段, 才能每天都可以给工人结清工资呢？请在挑战题里选出你的答案.
