困扰数学家几百年的山羊问题

在数学考试中你可能遇到过一只"吃草的山羊", 通常它被绳子栓在栅栏上, 可以在它能到达的任何区域内吃草. 你的任务就是计算它吃草区域的总面积或者根据吃草面积计算所需绳子长度. 如果改变栅栏的形状, 绳子的长度等条件, 吃草山羊问题会变得很有趣味和挑战性. 其中有一个问题竟然困扰了数学家200多年. 本文我们就来讨论这个问题.

具体的问题是这样的：

这个问题看上去并不难, 只要有平面几何知识都能写出山羊吃草的面积. 然后解方程即可. 那么这个问题为什么会困扰数学家那么多年呢？又是怎么解决的呢？

山羊问题求解

在绳子拉直的情况下, 山羊在圆内的轨迹是一条圆弧线.

于是山羊可到达的区域呈"透镜"形状——两个圆形部分堆叠在一起.

为了计算面积, 将该面积进行分割, 设为圆形栅栏的中心, .

则山羊所能接触到的区域是一个半径为, 圆心角为弧度的扇形区域, 以及一个半径为的圆被弦, 分割出的两个弓形区域.

根据平面几何扇形面积, 三角形面积等公式, 可求得山羊吃草面积为

若该面积是整个草场面积的一半, 则有

.

根据二倍角公式, 将上式化简得

解此方程可得的值, 进一步可以计算绳子的长度.

困难就在于：解不出该方程中的.

超越方程

我们无法在方程中分离出. 方程中的三角函数和多项式函数的混合造成了障碍.

我们面对的是一个超越方程.

比如对数函数, 反三角函数, 指数函数, 等就属于超越函数.

于是像 , 这样的方程都是超越方程.

与超越方程相对的是代数方程, 多项式方程就是代数方程, 我们知道一元五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，也就是不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根.[1]

代数方程都不一定能求解, 更别说超越方程了.

所以除极少数情形(通常可化为代数方程)之外, 一般情况下超越方程无法求出精确解, 只能求近似解.

数学家对超越方程精确解的研究，都是从特殊的超越方程入手, 比如在1973年, 有论文用复分析的知识研究了一类形如这样的超越方程, 并给出了方程的精确解, 其中是任意一个常复数. [2]

那么山羊问题中的这个超越方程能给出精确解吗？

山羊问题的精确解

这个著名的山羊吃草问题在19世纪提出后, 一百多年来, 数学家们一直试图找到这个山羊难题的精确解. 但直到2020年, 一位名叫 Ingo Ullisch 的德国数学家终于取得了进展, 找到了被认为是该问题的第一个精确解. [3]

对于此方程：

他给出的解是

于是绳子的长度为

这个解称为解析解.

比如, 二次方程的根就是一个解析解的典型例子.

但是Ullisch使用了复分析知识来求解, 复分析是数学的一个分支, 将包括微积分在内的分析工具应用于含有复数的表达式. 复分析已经存在了几个世纪, 但据Ullisch所知, 他是第一个将这种方法应用于山羊问题的人.

Ullisch还表示虽然使用轮廓积分来计算山羊绳长似乎有点大材小用, 但做以前无法完成的事情总是能带来数学上的满足感. 而且这些新方法有可能带来超越栅栏的见解, 即使它们是来自于研究一个关于山羊的问题.

所以一个看似简单到初中生就能求解的问题, 也隐含着意想不到的复杂.

山羊问题的近似解

从实用性角度, 以及在精确度要求不高的前提下, 我们可以通过求近似值来解方程. 下面介绍两种方法.

• 方法一：作图

作出函数的图像, 观察与横轴交点的第一个横坐标, 约为.

• 方法二：利用计算机编程

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
def fun(x):
    f= 1 / 2 * np.pi - np.sin(2*x) + 2 * x * np.cos(2*x)
    return f
  
x_initial_guess = 1
  
solution = fsolve(fun, x_initial_guess)

print(solution)

output

0.95284786

因此, 若圆形栅栏半径, 那么, 即所需的绳子长度约为米.

参考文献：

[1]阿贝尔-鲁菲尼定理. https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%98%BF%E8%B4%9D%E5%B0%94-%E9%B2%81%E8%8F%B2%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86

[2]E.E.Burniston. Exact analytical solutions of the transcendental equation .SIAM J.Appl.Math. Vol.24 No.4 June 1973.

[3]Steve Nadis. After Centuries, a Seemingly Simple Math Problem Gets an Exact Solution.https://www.quantamagazine.org/after-centuries-a-seemingly-simple-math-problem-gets-an-exact-solution-20201209/

图片来源：

海报：https://www.quantamagazine.org/after-centuries-a-seemingly-simple-math-problem-gets-an-exact-solution-20201209/