科赫雪花
从一个等边三角形开始, 我们可以通过递归, 重复以下过程来创建一个复杂的图形:
将三角形的每一边分成三份. 以中间的三分之一为底, 在三角形的另一边画一个等边三角形. 然后, 擦除中间的三分之一.
下面四幅图是这个过程的前几次迭代:
经过无限次迭代后, 图形会是什么样?实际上我们无法绘制它, 但我们可以计算它的周长和面积. 结果可能会让你大吃一惊!
上面描绘的图称为科赫雪花. 它属于一个广泛的几何图形类别, 称为分形. 定义分形的方法有很多种, 其中一种方法是取一个几何图形, 并无限多次应用相同的过程进行迭代.
科赫雪花的周长
因为分形与无穷大有关, 所以它具有一些有趣的几何特性. 以科赫雪花为例:
雪花的周长从一次迭代到下一次迭代是如何变化的呢?
- 每条线段被 4 条更小的线段替换, 所以线段的数量是原来的 4倍.
- 每条线段的长度是原来的
.
从一次迭代到下一次, 雪花的周长是原来的
科赫雪花的面积
雪花的面积也随着每次迭代而增长, 它是否也是无限的呢?我们从一个三角形开始, 令它的面积为 9.
在第一次迭代中, 增加了
因此, 在第一次迭代中, 三个较小三角形相加的面积为
在第二次迭代中, 边数是第一次迭代的 4 倍. 而且, 由于边长缩小
当我们从一次迭代继续到下一次迭代时, 增加的三角形数量乘以 4, 而这些三角形的面积乘以
这种和的形式, 其中无限多的每一项都是前一项的
当几何级数的第一项是
因为
我们已经证明, 尽管有无限的周长, 但科赫雪花的面积是有限的!这是分形看似矛盾的特性但又有趣的经典示例.
在今天的挑战中, 你还会发现分形的什么特性呢?