变瘦的三角形

科赫雪花

从一个等边三角形开始, 我们可以通过递归, 重复以下过程来创建一个复杂的图形：

将三角形的每一边分成三份. 以中间的三分之一为底, 在三角形的另一边画一个等边三角形. 然后, 擦除中间的三分之一.

下面四幅图是这个过程的前几次迭代：

经过无限次迭代后, 图形会是什么样？实际上我们无法绘制它, 但我们可以计算它的周长和面积. 结果可能会让你大吃一惊！

上面描绘的图称为科赫雪花. 它属于一个广泛的几何图形类别, 称为分形. 定义分形的方法有很多种, 其中一种方法是取一个几何图形, 并无限多次应用相同的过程进行迭代.

科赫雪花的周长

因为分形与无穷大有关, 所以它具有一些有趣的几何特性. 以科赫雪花为例：

雪花的周长从一次迭代到下一次迭代是如何变化的呢？

• 每条线段被 4 条更小的线段替换, 所以线段的数量是原来的 4倍.
• 每条线段的长度是原来的 .

从一次迭代到下一次, 雪花的周长是原来的 经过无限次迭代, 初始周长乘以 的无限次. 因为, 所以科赫雪花的周长随着每次迭代而增长, 即具有无限的周长.

科赫雪花的面积

雪花的面积也随着每次迭代而增长, 它是否也是无限的呢？我们从一个三角形开始, 令它的面积为 9.

在第一次迭代中, 增加了 个较小的三角形（每边一个）. 如上所述, 那些较小的三角形的边长是原始三角形边长的 . 因为所有三角形都是等边的, 所以它们互相相似. 那么每个小三角形的面积是 乘以原始三角形的面积, 即

因此, 在第一次迭代中, 三个较小三角形相加的面积为

在第二次迭代中, 边数是第一次迭代的 4 倍. 而且, 由于边长缩小 , 三角形面积缩小. 那么在第一次和第二次迭代中增加的面积是

.

当我们从一次迭代继续到下一次迭代时, 增加的三角形数量乘以 4, 而这些三角形的面积乘以. 这意味着面积和中的每一项都是前一项乘以 .也就是说, 我们可以将增加的总面积写为 当我们从一次迭代继续到下一次迭代时, 增加的三角形数量乘以 4, 而这些三角形的面积乘以. 这意味着面积和中的每一项都是前一项乘以 .也就是说, 我们可以将增加的总面积写为

这种和的形式, 其中无限多的每一项都是前一项的倍, 称为 几何级数.

当几何级数的第一项是 时, 总和为 当 时, 总和为无穷大. （在分形中是非负的, 所以不需要考虑. ）

因为 科赫雪花的面积实际上是有限的. 当初始三角形的面积为 9 时, 迭代增加的三角形面积和是 和 的几何级数, 即 . 所以, 这个科赫雪花的总面积是 .

我们已经证明, 尽管有无限的周长, 但科赫雪花的面积是有限的！这是分形看似矛盾的特性但又有趣的经典示例.

在今天的挑战中, 你还会发现分形的什么特性呢？