多边形对角线

在平面凸多边形中, 对角线是连结两个不相邻顶点的线段. 那么任意一个凸多边形有多少条对角线呢？

通项公式

多边形对角线数目可以由公式

给出. 其中为多边形的边数.

证明如下.

证明一:

一个边形有个顶点. 从任意一个顶点出发, 可以连接条对角线, 故共有条对角线. 因为每个顶点计算了两次, 所以再除以2就得出对角线的数目为

证明二:

一个边形有个顶点. 将所有顶点两两相连, 一共有条线段. 其中有条是边不是对角线. 因此边形的对角线数量为

递归公式

多边形的对角线数量还存在下面的递归关系.

证明:

边形有条对角线. 若增加一个顶点, 除了该顶点和其两个相邻的点, 其余个顶点都可以和它构成一条对角线. 而原本相邻两点间的边则会成为新的对角线.

因此我们有