悬链线问题

这是达芬奇的世界名画《抱银貂的女人》, 你是否注意到女人脖颈上悬挂的黑色珍珠项链？你会想到什么？你注意到的可能是项链与女人相互映衬的美, 而达芬奇却在苦苦思索这样一个问题：固定项链的两端, 使其在重力的作用下自然下垂, 那么项链所形成的曲线是什么？

这就是著名的悬链线问题, 遗憾的是达芬奇还没有找到答案就去世了.

什么是悬链线

悬链线指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条, 在重力的作用下所具有的曲线形状. 因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名.

伽利略曾推测过悬链线是一条抛物线, 遗憾的是荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线. 后来瑞典数学家约翰·伯努利证明了这条曲线是双曲余弦. 适当选择坐标系后, 悬链线的方程是一个双曲余弦函数, 其标准方程为：

为曲线顶点到横坐标轴的距离.

其中

悬链线问题

下面我们看一个悬链线的例子并利用悬链线方程解决其中的问题.

一条80米长的无弹性的绳子挂在两根细杆的顶端, 两根细杆的高度都是50米. 如果绳子的最低点距地面20米, 那么两根细杆之间的距离是多少?(可以忽略细杆的宽度) 以绳子最低点为原点建立直角坐标系. 设两杆之间的距离为, 则细杆最高点坐标为.

由悬链线相关知识可得此坐标系中绳子的方程为

绳长的一半

把代入得

把绳子长度代入得

由得

解得, 代入方程解得.

因此两细杆间的距离为米.