有趣的正多面体

我们知道正多面体只有5种：正四面体, 正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 本文我们利用欧拉(Euler)多面体公式来证明这个结论并进一步探究多面体一个有趣的性质：对偶性.

正多面体

欧拉多面体公式是由数学家欧拉发现的.

正多面体是指由若干个完全相同的正多边形拼成的, 且所有顶点完全相同的多面体.

现在假设一个正多面体的每个面都是正 边形, 那么所有 个面一共就有 条边； 每两条边拼在一起形成了一条棱, 因而总的棱数就是. 反过来, .

不妨再假设每个顶点处都汇集了 条棱, 那么总的棱数似乎应有 个； 但这样计算的话, 每条棱都被重复算了两次, 因而总的棱数实际上应该是 . 反过来, .

根据欧拉公式, 把上面几个式子合在一起, 于是得到：

整理可得：

因此,

但是, 正多面体每个面至少都有三条边, 每个顶点也至少汇集了三条棱, 因此 和 都是大于等于 的整数. 因此只有以下五种可能：

这正好对应那五种正多面体. 列表如下：

其中, F:面数, V:顶点数, E: 棱数, p:每个面的边数, q:每个顶点处的棱数.

正多面体的对偶性

很容易看出, 这五种多面体是成对出现的. 你会发现, 正方体和正八面体的面数 F 和顶点数 V 互相颠倒, p 值和 q 值也互相颠倒, 棱数 E 则相同. 其实, 这并不是巧合.

如果作出正方体的每个面的中心, 再把相邻的面所对应的中心连在一起, 就会得到一个正八面体； 再作出正八面体的每个面的中心, 和刚才一样把它们连起来, 又会变回正方体.

下面这个动画直观地表明了它们之间的关系.

容易看出, 每次变换前后, 原图形的每个面与新图形的每个顶点一一对应, 原图形的每个顶点与新图形的每个面一一对应, 因此两种图形的面数 F 和顶点数 V 是互相颠倒的.

同时, 原图形中的两个相邻的面, 就变成了新图形中的两个相邻的顶点, 因而原图形的每个面有多少条边, 新图形的每个顶点处就会引出多少条棱； 原图形中的两个相邻的顶点, 也会变成新图形中的两个相邻的面, 因而原图形的每个顶点有多少条棱, 在新图形中它就会被多少条边框住. 这也就解释了 p 和 q 互相颠倒的原因.

最后, 原图形的每条棱和新图形的每条棱也都是一一对应的, 而且每两条对应的棱在空间中正好垂直. 我们把变换前后的两个多面体叫做一对“对偶多面体”（dual polyhedron）.

类似地, 正十二面体和正二十面体也拥有互相颠倒的 F 和 V , 以及互相颠倒的 p 和 q , 以及同样数目的 E , 这也是因为它们互为对方的对偶多面体. 演示动画如下.

那么, 正四面体怎么办呢？这个就好玩了：它和它自己对偶！

参考文献

[1] matrix67. 高度对称的多面体和它们的对偶多面体. http://www.matrix67.com/blog/archives/6161