哪个点更多

一条1厘米长的线段上的点, 和一条直线上的所有点比较, 哪个多？

一条1米长的线段上的点, 和一个的正方形内的点比较, 哪个多？

一个单位正方形内的点和一个单位立方体内的点比较, 哪个多？

无论线段还是直线, 还是正方形, 我们都能取出无穷多个不重复的点.所以我们要比较的是无穷的大小！那无穷怎么比大小呢？

比如, 自然数 (即0, 1, 2, 3, ...) 有无穷多个, 正整数 (即 1, 2,3, ...) 也有无穷多个. 现在我们来考虑这样一个问题：

有人会说： “这还用问吗？ 当然是自然数多啦！自然数比正整数多一个0呀！” 确实, 正整数只是自然数的一部分, 而整体大于部分, 因此自然数应该比正整数更多.

但细想一下, 事情又不那么简单. 因为如果将自然数装进你的口袋, 正整数装进我的口袋, 我们不知道谁的口袋里装的数多, 那怎么比较呢？当然是, 你从口袋里拿一个0, 我便拿一个1与你的0对应, 你拿出1, 我拿出2, 你拿出2, 我拿出3, 如此无限继续下去, 可以想象, 只要你拿出一个数, 我也总能拿出一个数来, 只要我的数比你大1即可, 而这样的数总是找得到的.这么一来, 谁口袋里的数多就无法定论了, 或者换句话说, 一样多.

而著名的意大利科学家伽利略也考虑过我们上面这个问题. 他的结论是： 那样的比较是无法进行的.

这样的问题困扰了数学家很多年. 但随着数学的发展, 数学家们最终还是为无穷集合的比较建立起了系统性的理论, 它的基石就是上面提到的一一对应的关系, 这是由著名德国数学家康托 (George Cantor) 提出来的.

也就是对于无穷集合的元素个数比较, 康托的理论是：

那么按照这个定义,

自然数集和正整数集都是有无穷多元素的, 并且他们之间可以建立如下一一对应的关系.

所以自然数集和正整数集元素个数一样多.

康托生于 1845 年, 是集合论的奠基者. 康托的理论是如此新颖, 连他自己也曾在给朋友的信件中表示 “我无法相信”. 与他同时代的许多其他数学家更是对他的理论表示了强烈反对, 甚至进行了尖锐攻击.但时间最终证明了康托的伟大. 他的集合论成为了现代数学的重要组成部分.

现在请你来比较一下一条长的线段上的点（包括端点）, 和一个的正方形上的点（包括边界和内部）, 哪个更多？