不一样的乘积——卷积

在小学, 当我们计算多位数相乘时, 最常见的做法是列竖式计算, 将多位数相乘转化为多位数乘个位数. 下面我们来看一种特别的计算方法.

以为例.

验证一下发现结果是正确的. 这种运算方法将多位数相乘转化为个位数相乘, 相比原来的竖式计算更不容易出错. 那么你能发现这种方法的原理吗？

运算原理揭秘

将任意两个多位数相乘,

那么乘积最高位的位权为, 由与这两项相乘得到, 最低位为个位, 由两个个位数相乘得到.

中间某一位比如, 由

, , , , ,

这些情况得到.

因此乘积中项的系数为

也就是将乘数翻转与被乘数的数位对应相乘再相加, 这便是开头的计算方法.

根据此运算过程, 不妨将此计算方法称为"翻转平移相乘法".

相比常见的列竖式计算, 这种方法计算步骤多一些, 但不容易出错. 它的特点是, 计算的时候是依次去得到乘积的每一位.

应用于多项式乘法

进一步, 如果将十进制数改为未知数, 比如计算两个多项式相乘,

多项式系数为

根据, 可得

所以"翻转平移相乘法"也适用于多项式乘法.

将运算推广

如果将此运算方法进行推广, 可以定义两个向量的“翻转平移相乘”运算

任给两个向量

“翻转平移相乘”后仍是一个向量

其中

其实这种运算方法我们并不陌生, 在一些生活场景中也很常见. 下面举两个例子.

应用场景

问题1掷骰子：假设有两枚骰子, 点数出现的概率分别是 其中, 求同时投掷这两枚骰子得到的点数和的概率.

由题意可知, 两枚骰子的点数和有共种情况.

对应的概率分别为

如果将所有的点数和的概率一一计算, 可以发现, 就是将下面两个向量

和

进行“翻转平移相乘”运算.

问题2银行存钱：小明每年年初都往某银行存入元(), 假设银行年化利率为, 其中每年存入的钱到年底结算一年利息后, 本息和自动存入下一年. 那么第年年底小明能拿到多少钱?

第年年底有

第年年底有

第年年底有

如果记, , 那么第到年年底能拿到的钱就是将下面两个向量

和

进行“翻转平移相乘”运算.

所以我们创造了一种运算吗？给他一个正规的名字和符号吧.

卷积的概念

将此"翻转平移相乘法"运算抽象, 就是高等数学中的卷积运算.

在泛函分析中, 卷积是通过两个函数生成第三个函数的一种数学算子, 称 为两个函数 的卷积, 则

离散情形

连续情形

据史料记载, 卷积的最早应用之一出现在达朗贝尔在1754年出版的《Recherches sur différents importants du système du monde》对泰勒定理的推导中. 而直到20世纪50年代卷积才得到广泛使用.[1]

卷积被应用在科学、工程和数学上：概率论中, 两个统计独立变量与的和的概率密度函数是与的概率密度函数的卷积. 统计学中, 加权的滑动平均是一种卷积. 图像处理中, 卷积可用作图像模糊、锐化、边缘检测等. 所以卷积是非常重要而且有用的概念.

总结

小学的多位数(整数)乘法, 中学的多项式乘法以及高等数学中的幂级数乘法本质上都是卷积运算, 其内在运算结构是相通的. 本文从多位数乘法运算出发, 介绍了所谓的“翻转平移相乘法”, 通过生活中的实际应用我们看到这种运算的重要性和必要性, 而它恰恰就是高等数学中的卷积运算, 所以说高等数学中的一些概念定义其实是初等数学中某些内容的抽象. 初等数学里也蕴涵着高深的知识.

参考文献

[1] convolution. https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#cite_ref-8