若干点的不同距离数有了新界限

作者 | Leila Sloman

译者 | 慕容玖

原载于 | Quanta Magazine

在平面上随机散布三个点, 然后测量每一对点之间的距离. 多数情况你会得到三个不同的距离值. 但是, 如果你将这些点排列成等边三角形, 那么每个距离值都是相同的.

这个结论对于平面上的四个点是无法实现的. 因为你能设计的最小距离数是——正方形的边和对角线. 但是, 如果你将其中一个点从平面上抬起, 形成一个每个侧面都是等边三角形的金字塔(正四面体) , 那么这四个点之间只有唯一的距离——等边三角形的边长.

下图列举了平面上个点的情况.

如果你有很多点, 这个模式会变得更加明显. 在平面上随机散布个点, 可能会得到个不同的距离值. 但是, 如果你将这个点排列成平面的正方形网格, 任意一对点之间将只有种可能的距离. 当然将这些点提升到三维网格中, 你可以进一步减少这个数量.

回答关于若干个点之间距离值最少个数的问题, 听起来像是一道很深奥的练习题. 但在探索这些问题的数十年中, 数学家们开发出了广泛应用于从数论到物理学等不同领域的工具.

不列颠哥伦比亚大学的巴勃罗·什梅尔金(Pablo Shmerkin)说, “不论何时人们尝试解决这个问题, 他们都会发现一些令人惊讶和意想不到的联系. ”

最新的发展出现在去年年底, 当时四位数学家合作证明了一种新的关系：关于点集几何与它们之间距离的关系. ^[1]

对于一个点集, 我们将点之间的不同距离构成的集合称为该点集的距离集；距离集的大小就是集合内的距离个数, 即所有不同的距离值的数量. 1946年, 著名数学家保罗·埃尔德什(Paul Erdős)猜想, 对于大量的点, 距离集的大小不能小于将点排列成平面网格时得到的距离集的大小. 这个问题表面上看似简单, 但实际上非常深奥和困难. 即使在二维情况下, 仍未完全解决, 不过在2010年, 两位数学家取得了极为接近的成果, 现在被认为基本上解决了这个问题 ^[2]；但在更高维度上, 这个问题仍然悬而未决.

与此同时, 数学家们也提出了这个猜想的新版本. 其中一个最重要的版本出现在一篇论文中, 由苏格兰圣安德鲁斯大学的数学家肯尼斯·法尔科纳(Kenneth Falconer)在1985年发表. ^[3] 法尔科纳研究了无限多个点之间的不同距离.

对于无限多个点, 单纯的计数不再有用. 但数学家有其他定义大小的方法. 法尔科纳的猜想假定点集的几何特征(用一个称为分形维数的数字表示) 与距离集的大小(用一个称为测度的数字表示) 之间存在关系.

分形维数与我们对维度的常规直觉相一致. 就像熟悉的维度概念一样, 一条线段的分形维数是, 而一个正方形(其内部填充) 的分形维数为. 但是, 如果一组点形成了一个更复杂的分形模式——例如一条曲线, 在放大任意倍数下都会出现不断的小弯曲和转折——它的分形维数可能不是一个整数. 例如, 下图所示的Koch雪花曲线, 具有无限多的越来越小的三角形突起系列, 其维数约为.

一般来说, 一个无限点集的分形维数大致取决于它的分散程度. 如果它分布在平面上, 它的分形维数将接近. 如果它看起来更像一条线, 它的分形维数将接近. 同样类型的结构也可以用于定义三维空间或更高维度的点集.

法尔科纳猜想的另一方面是距离集的测度. 测度是数学上对长度概念的广义化称呼. 单个数字, 可以表示为数轴上的一个点, 具有零测度. 但是, 即使是无限集也可以具有零测度. 例如, 整数在实数中是如此稀疏地分布, 以至于它们没有集体的“长度”, 因此形成了一个零测度的集合. 另一方面, 实数在例如和之间的区间的测度是, 因为那是区间的长度.

测度提供了一种方法来表征无限多点之间不同距离集的大小. 如果距离的数量“很小”, 这意味着距离集的测度将为零：因为有很多重复的距离. 另一方面, 如果距离集的测度大于零, 这意味着存在许多不同的距离.

在二维中, 法尔科纳证明了任何分形维数大于 的点集, 其距离集的测度为非零. 但数学家们很快就相信这对所有分形维数大于的点集都成立. 新论文的合著者之一、宾夕法尼亚大学的欧于萌(Yumeng Ou) 说, “我们正在尝试解决这个的差距. ” 此外, 法尔科纳的猜想还扩展到三维或更高维度：对于散布在d维空间中的点, 如果这些点的分形维数大于, 那么距离集的测度必须大于 .

2018年, 欧于萌和她的同事们证明了该猜想在二维中对所有分形维数大于的点集都成立. ^[4] 现在, 欧于萌与西北大学的杜修民(Xiumin Du) 、加州大学伯克利分校的张瑞祥(Ruixiang Zhang) 以及普林斯顿大学的任凯文(Kevin Ren) 一起证明, 在更高维度中, 确保距离集具有非零测度的阈值略小于. Shmerkin说, “在本文中, 首次实现了在更高维度中的界限优于二维的情况. ”(在二维中, 阈值正好是.)

这一最新结果只是最近关于法尔科纳猜想一系列进展中的一个. ^{[5] [6] [7]} 该证明改进了调和分析中的技术——调和分析是数学中一个看似遥远的领域, 涉及将任意复杂的函数表示为简单波——以强化界限. 但其中一些技术最初就是为了应对这个问题而开发的.

罗切斯特大学的亚历克斯·约瑟维奇(Alex Iosevich) 说, 这个关于点之间距离的问题“ 已经成为调和分析中一些最大思想的试验场. ”

尽管他们仅仅缩小了法尔科纳在1985年论文中留下的一半差距, 但数学家们认为, 最近一系列工作的出现表明, 最终解决整个猜想可能已近在咫尺. 同时, 他们将继续使用这个问题作为测试他们最复杂工具的试验场.

关于作者

Ph.D. in Mathematics from Stanford University

1. Xiumin Du, Yumeng Ou, Kevin Ren, Ruixiang Zhang. New improvement to Falconer distance set problem in higher dimensions. https://arxiv.org/abs/2309.04103 ⬅
2. Larry Guth, Nets Hawk Katz. On the Erdős distinct distances problem in the plane. https://annals.math.princeton.edu/2015/181-1/p02 ⬅
3. K. J. Falconer. On the Hausdorff dimensions of distance sets. https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/S0025579300010998 ⬅
4. Larry Guth, Alex Iosevich, Yumeng Ou & Hong Wan. On Falconer’s distance set problem in the plane. https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-019-00917-x ⬅
5. Bochen Liu. An L2-identity and pinned distance problem.https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-019-00482-8 ⬅
6. Pablo Shmerkin, Hong Wang. On the distance sets spanned by sets of dimension d/2 in R^d. https://arxiv.org/abs/2112.09044 ⬅
7. Tainara Borges, Alex Iosevich, Yumeng Ou. A singular variant of the Falconer distance problem. https://arxiv.org/abs/2306.05247 ⬅
8. 原文发布于 Quanta Magazine