黎曼猜想新进展,“震撼”证明来袭

作者 | Jordana Cepelewicz

译者 | 慕容玖

原载于 | Quanta Magazine

引入

有时候, 数学家们会直面一个问题, 有时则会采取侧面进攻的方法, 尤其是面对难度非常大的数学问题时, 比如黎曼猜想. 黎曼猜想是数学中最重要的未解问题之一. 黎曼猜想一旦被解决, 解答者将获得克雷数学研究所提供的100万美元奖励. 并且黎曼猜想的证明将使数学家对素数的分布有更深入的了解, 同时也会产生一系列其他重要的结果.

目前, 数学家们尚未找到黎曼猜想的证明方法. 但他们仍然可以通过证明该猜想可能的反例是有限的, 来获得有用的结果. 牛津大学的詹姆斯·梅纳德(James Maynard)表示：“在许多情况下, 这可以与黎曼猜想本身一样有效, 我们可以从中得到类似的素数结果. ”

在今年(2024年)5月发布的一项突破性结果中 ^[1], 梅纳德和麻省理工学院的拉里·古斯特(Larry Guth)确立了特定类型的反例的新上限, 最终打破了80多年前创下的记录. 罗格斯大学的亨里克·伊万尼茨(Henryk Iwaniec)称赞道：“这是一个震撼的结果. 非常非常难, 但它如宝石一样珍贵. ”

这一新的证明自动导致了对数轴上短区间内素数数量的更好近似, 并且预计将提供关于素数行为的许多其他思路.

什么是黎曼猜想

黎曼猜想是一个关于数论中核心公式黎曼ζ函数的陈述. ζ函数是一个简单求和的推广：

这个级数随着项数的增加会变得越来越大——数学家们称其为发散的. 但是, 如果你计算以下和：

你会得到, 大约是. 黎曼的一个惊人而强大的想法是将这样的级数转化为一个函数, 表示为：

所以, 是无穷大的, 而.

如果让 取复数时, 事情变得非常有趣. 复数有两个部分：一个“实数”部分, 是我们日常使用的数字；一个“虚数”部分, 是一个日常数字乘以 的平方根(或称为). 复数可以在平面上绘制, 其中实数部分在轴上, 虚数部分在轴上. 例如, 这是.

ζ函数接受复平面上的点作为输入, 输出其他复数. 结果发现, 对于一些复数, ζ函数的值为零. 确定这些零点(函数的零点是使得函数值为零的自变量的取值)在复平面上的位置是数学中最有趣的问题之一.

1859年, 伯恩哈德·黎曼猜测所有的零点都集中在两条直线上. 如果你扩展ζ函数, 使其能够计算负数输入, 你会发现它对于所有负偶数(例如 等)的值为零. 这一点相对容易证明, 因此这些被称为“平凡零点”. 黎曼猜测, 函数的所有其他零点, 即“非平凡零点”, 其 实部为, 因此都位于这条垂直线上. 这就是黎曼猜想.

“侧面进攻”

黎曼猜想的证明极其困难. 数学家们知道每个非平凡零点的实部必须在和之间, 但他们无法排除某些零点的实部可能是等其他值的可能性.

他们可以做的是证明这些零点必须极其稀少. 1940年, 英国数学家阿尔伯特·英厄姆(Albert Ingham)建立了一个关于实部不等于的零点的数量的上界, 数学家们至今仍以此作为参考点.

几十年后, 在1960年代和70年代, 其他数学家们找到了将英厄姆的结果转化为关于素数在数轴上如何分布以及它们可能形成的其他模式的论述的方法. 与此同时, 数学家们也引入了新技术, 这些技术改进了英厄姆对于实部大于的零点的界限.

但事实证明, 最重要的零点是那些实部恰好为的零点. 梅纳德(Maynard)表示：“许多关于素数的界限都受限于我们对实部为的零点的理解. ”

大约十年前, 梅纳德开始思考如何改进英厄姆对这些特定零点的估计. 他说：“这一直是我在解析数论中最喜欢的问题之一. 我总觉得只要再努力一点, 就能得到改进. ”但年复一年, 无论他多么努力地回到这个问题上, 他总是被困住. “它几乎把你吸引进去, 看起来比我想象的要简单得多, 虽然事实并非如此. ”

然而, 在2020年初的一次飞往科罗拉多州会议的航班上, 他突然有了一个想法. 梅纳德想, 也许另一数学领域——调和分析中的工具会有用.

拉里·古思(Larry Guth), 一位在谐波分析领域的专家, 恰巧在同一个会议上, 也有类似的思路. “但我对解析数论了解得非常有限. ”他说. 梅纳德在午餐时向他解释了数论方面的内容, 并给他提供了一个测试案例. 古思在接下来的几年里时断时续地研究这个问题, 最终意识到他在谐波分析中的技术并不适用.

然而, 他并没有停止思考这个问题, 而是尝试了新的方法. 他在2月份再次联系了梅纳德. 两人开始认真合作, 结合了各自不同的视角. 几个月后, 他们取得了成果.

数学策略

古思和梅纳德首先将他们想解决的问题转换成另一个问题. 如果有一个零点的实部不是, 那么一个相关的函数, 狄利克雷多项式必须产生一个非常大的输出. 因此, 证明黎曼猜想的潜在反例非常少, 等同于展示狄利克雷多项式不能过于频繁地变得很大.

数学家们接着进行了另一项翻译工作. 他们首先利用狄利克雷多项式构建了一个矩阵, 或者说一个数字表格. 古斯表示：“数学家们喜欢看到矩阵, 因为矩阵是我们非常了解的东西. ”

矩阵可以“作用于”一个向量, 以生成另一个向量(向量由长度和方向确定). 在这个过程中, 矩阵通常会改变向量的长度和方向. 有时, 存在一些特殊的向量, 当它们通过矩阵时, 只会改变长度而不会改变方向. 这些向量称为特征向量. 数学家们用称为特征值的数字来衡量这些变化的大小.

古斯和梅纳德将他们的问题重写成关于矩阵的最大特征值. 如果他们能够证明最大特征值不能过大, 他们就成功了. 为此, 他们使用了一个公式, 得到了一个复杂的和, 并寻找方法尽可能地使该和中的正值和负值相互抵消. 古斯说：“你必须重新排列序列, 或者从正确的角度来看, 以发现一些对称性, 从而实现一些抵消. ”

这个过程涉及几个令人惊讶的步骤, 包括梅纳德所说的“在我看来最重要的想法, 至今对我来说仍然有点神秘”. 有一步看似显而易见的简化步骤, 他们却没有采用. 相反, 他们保持了和的较长且复杂的形式. 梅纳德说：“我们做了一件乍看起来完全愚蠢的事. 我们拒绝进行标准的简化, 这带来了很多麻烦. 这意味着我们现在无法对这个和获得任何简单的界限. ”

但从长远来看, 这证明是一个有利的举动. 梅纳德说：“在国际象棋中, 通过牺牲一个棋子来获得更好的棋盘位置, 我们称之为一种开局.”古斯将其比作玩魔方：有时你必须撤回之前的步骤, 使一切看起来更糟, 然后才能找到将更多颜色放到正确位置的方法.

曾是梅纳德的导师, 牛津大学的数学家罗杰·希思-布朗(Roger Heath-Brown)说, “你必须非常勇敢地放弃一个明显的进步, 并希望之后能够恢复它, 这违背了我认为应该做的所有事情. ” 结合他自己处理这个问题的经历, 他说“现在回想起来, 我也是在这里卡住的. ”

梅纳德表示, 古斯作为一个谐波分析专家, 而非数论专家, 使得这种策略成为可能. “他没有固有的这些规则, 所以他更愿意考虑那些违背常规的东西. ”

最终, 他们能够为最大特征值找到一个足够好的上界, 从而转化为对黎曼假设潜在反例数量的更好界限. 尽管他们的工作始于古斯受到启发的谐波分析理论, 但最终数学家们能够将那些更复杂的技术从图景中剔除. “现在它看起来正是我40年前可能尝试做的那种事, ”希思-布朗说.

通过提供对实部为的零点数量的更好界限, 古斯和梅纳德自动证明了有关素数分布的结果. 例如, 在给定区间内对素数数量的估计在较短的区间中变得不那么准确. 新的工作使数学家们能够缩短获得准确估计的区间.

数学家们怀疑, 这一证明将影响其他关于素数的命题. 古斯和梅纳德的方法似乎还有进一步推进的空间. 但梅纳德表示：“我觉得这些不是解决黎曼假设本身的正确技术, 它需要来自其他领域的一些重大创意. ”

关于作者

Math Editor at Quanta Magazine

1. Larry Guth, James Maynard. New large value estimates for Dirichlet polynomials. https://arxiv.org/abs/2405.20552 ⬅
2. 原文发布于 Quanta Magazine