群体免疫的实现：需要全民接种？

作者 | Patrick Honner

译者 | 慕容玖

原载于 | Quanta Magazine

引言：谣言的传播

假设你听到一个令人兴奋的传闻, 忍不住想分享. 但你讨厌散布谣言, 权衡之下, 你决定只告诉一个人, 然后就保持沉默. 这看起来没什么大不了, 对吧？毕竟, 如果你告诉的那个人采取同样的策略, 只告诉另一个人, 那么这个传闻也不会传播得太广. 如果每天有一个新的人听到这个传闻, 天后, 包括你在内, 只有个人知道这个传闻.

但是如果你告诉两个人, 情况会如何？结果可能出乎意料. 如果每个人每天都将这个传闻告诉两个新的人, 那么天后, 这个传闻将传达到全球四分之一以上的人口(确切地说是人, 即). 为什么看似微小的变化——从告诉一个人变为告诉两个人——会产生如此巨大的差异？答案在于变化率.

线性增长与指数增长的对比

在第一个场景中, 传闻每天传递给与前一天相同数量的人. 这意味着每天听到传闻的新人数是恒定的. 在我们的例子中, 这个数字是.

但如果每天传递给前一天的人数翻倍, 新听到传闻的人数将呈指数增长：第一天有两个人听到, 第二天有四个人, 第三天有八个人, 依此类推. 在第天, 将有惊人的新的人听到这个传闻(暂且不考虑一些合理的反对意见, 我们稍后会讨论).

为什么这两个场景之间有如此巨大的差异？这与线性函数和指数函数有关. 线性函数的特征是恒定的变化率, 如每天有一个新的人听到传闻. 线性增长是缓慢而稳定的, 每次增加相同的数量. 而指数函数的特征是变化率呈倍数增加：两个人、四个人、八个人、十六个人, 等等. 与线性增长不同, 指数增长是加速的——增长的量本身也在增加.

这就是天后个人听到传闻和多亿人听到传闻之间的差异. 这完全取决于每个人是将传闻告诉给一个人还是两个人. 如下图表显示了每天知道传闻的人数. 绿色的线性函数看起来几乎是水平的, 而蓝色的指数函数垂直延伸, 超过了亿.

从谣言传播到疾病的传播

这个基本的数学模型抓住了特定类型传播的本质, 影响的不仅仅是谣言的传播. 同所有基本模型一样, 它忽略或简化了许多复杂因素——例如传播的可能性和总体人口规模——但这是探索观点传播、人口增长以及疾病传播的一个很好的起点.

感染病的传播方式与传闻类似：某人感染, 然后传染给他人. 当然, 两者之间存在差异, 但基本的数学模型在两种情况下都很有用. 在关于传闻的简单例子中, 我们看到传闻的传播率看似微小的差异会导致最终听到它的人数有巨大差异. 对于传染病也是如此：将感染传给一个人和传给两个人之间的差异, 可能是几例孤立病例与流行病之间的区别.

每种可传播的疾病在社区中的传播速度取决于一组独特的生物学、环境和社会因素. 流行病学家试图用感染的“基本再生数”(basic reproduction number)来总结所有这些因素的影响. 这个数值表示每个感染者预计会产生的新感染数, 通常记为. 在上面的传闻例子中, 基本再生数分别是(每个人将传闻传播给一个人)和(每个人将传闻传播给两个人)；“感染期”是一天.

以下是一些众所周知疾病的基本再生数：

注意, 这些疾病的基本再生数都大于 . 这是它们危险的原因之一：由于每个感染者平均会感染超过一个人, 感染人数将呈指数增长. 这可能对人口产生毁灭性的影响. 但是, 给定一个代表指数增长的基本再生数, 是否有可能使其线性化？我们能否将疾病的 降低到 ？

疫苗接种和基本再生数

这就是疫苗接种的作用. 当接种疫苗后, 个体会对疾病产生抵抗力：成功率各不相同, 但为了简单起见, 我们假设疫苗接种可提供对疾病的完全免疫. 疫苗接种直接惠及接种者, 但也间接惠及更广泛的人群. 如果社区中的许多人接种了某种疾病的疫苗, 该疾病的传播速度将减慢.

实际上, 广泛的疫苗接种可以帮助降低疾病的有效再生数. 如果足够多的人接种了疫苗, 疾病的有效再生数实际上可以降低到 , 确保疾病仅以线性速度传播. 那么, 需要有多少人接种疫苗才能将疾病的有效再生数降至 ？

让我们思考一下基本再生数真正告诉我们的信息. 考虑一个基本再生数 的流感疫情. 这意味着一个感染者平均会感染两个人. 这个数值 为我们提供了大量信息：疾病的易传播性、感染期的长短, 以及在特定时间段内感染者平均会接触多少人. 通过分解这个数值, 我们可以轻松地看到疫苗接种如何降低它.

假设一个感染了流感病毒()的人在感染期内会遇到 个人. 我们可以将其绘制为一个图, 中心的绿色表示感染者, 箭头指向他遇到的 个人.

每个接触者都有可能感染流感, 但由于 , 平均而言, 这 个人中有 个人会感染.

一般来说, 我们可以说每个人有 , 即 的感染机会.

但假设这 个人中有 个人接种了流感疫苗. 再次为了简单起见, 假设疫苗接种提供了完全的免疫力, 这意味着感染无法传递给他们. 但其余 个人每人仍有 的感染机会. 这意味着平均而言, 个人将被感染.

因此, 如果每 个人中有 个人接种了疫苗, 那么一个感染者平均只会感染 个人. 疫苗接种实际上将疾病的基本再生数从 降低到了 . 那么, 我们如何将基本再生数降至 以避免指数增长呢？

再次假设我们的初始感染者在感染期内接触了 个人, 并且每个未接种疫苗的人有 的感染机会. 现在, 假设这 个人中有 个人接种了疫苗. 我们可以预期, 平均而言, 个人将被感染. 为了使增长为线性而非指数, 我们需要平均新感染人数为 . 因此, 我们需要解方程：.

经过简单的代数运算, 我们发现 满足该方程. 让我们看看当 个接触者中有 个人接种了疫苗时会发生什么；我们在下图中用蓝色表示他们.

疫苗接种实际上将这 个人从图中移除, 因为疾病无法传染给他们.

现在, 其余 个人每人仍有 的感染机会, 因此平均会有 个人被感染. 这意味着在最初接触的 个人中, 只有 个人被感染：因此, 通过让每 个人中的 个人接种疫苗, 我们实际上将该疾病的 降低到了 .

群体免疫阈值

这个过程可以推广到任何基本再生数 . 如果我们假设每个感染者在感染期内接触了 个人, 那么平均而言, 的人将被感染. 但如果这 个人中有 个人接种了疫苗, 那么

代表新感染人数. 我们希望这个值等于 因此我们有方程：

求解(代表总人口中接种疫苗的百分比), 即每个人中有个人接种了疫苗. 经过一些代数运算, 我们得到：

这意味着, 如果总人口中接种疫苗的百分比为, 那么平均而言, 每个感染者只会感染个人. 因此, 是使疾病线性增长而非指数增长的关键百分比.

在这个疫苗接种水平，即总人口的下, 群体对疾病产生了一种集体免疫：不是对个体感染的免疫, 而是对疾病在群体中指数传播的免疫. 这种特性被称为“群体免疫”. 在一个群体中达到群体免疫所需的疫苗接种百分比被称为“群体免疫阈(yu)值”(HIT). 以下是各种疾病的HIT示例：

显然, 针对疾病的疫苗接种不仅对接种者有潜在益处, 对社区也有益处. 当达到群体免疫的阈值时, 疾病在群体中传播的速度被控制在足够低的水平, 以避免潜在的灾难. 广泛的疫苗接种将左图中疾病可能在群体中传播的众多路径, 转变为右图中更少的传播路径, 从而减缓增长并降低流行病爆发的可能性.

群体免疫的一个重要特征是它也惠及未接种疫苗的个体. 由于疾病不太可能广泛传播, 每个人的风险都降低了——包括未接种疫苗的人. 这对某些情况下不宜接种疫苗的人尤为重要, 如婴儿、老人和体弱者. 尽管我们在此假设疫苗接种是有效的, 即使在实际效果低于的情况下, 群体免疫的益处仍然可以实现：即使有效性低于, 广泛的疫苗接种仍然可以降低每个感染者平均的新感染人数, 从而降低疾病的有效再生数.

我们已经看到了线性增长和指数增长之间的巨大差异. 对于疾病传播而言, 这可能是生死攸关的问题. 理解疫苗接种和群体免疫背后的数学至关重要, 所以告诉你的朋友吧. 更好的是, 告诉两个.

关于作者

Mathematics and Computer Science Teacher in New York City

1. 原文发布于 Quanta Magazine