5家共井问题和百鸡问题

说到方程，最简单的是一元一次方程，就是一个未知数，一个方程构成的，还有二元一次方程组，三元一次方程组，他们的未知数个数与方程个数是相等的，但还有一类方程，未知数个数多于方程的个数，比如：,是由两个未知数，一个方程构成的，这类方程的解由无数多个，由于这类方程的解是不定的，数学上就把它叫做不定方程.

对不定方程的研究，我国古代很早就开始了，《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”，就是突出的一例，题目大意是：

五户人家各出固定长度的绳索作井绳，已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳，以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深，问井深和各户绳长各几何?

原书虽无解答过程，但附有答案：井深、甲、乙、丙、丁、戊绳长各为721、265、191、148、129、76寸.

这个答案对吗？其实这是一个不定方程组问题，设井深为个单位长度，甲、乙、丙、丁、戊绳长分别为个长度单位，那么依题意得方程组

这个方程组是由6个未知数和5个方程构成的六元一次不定方程组.

由 (1)得 .(6)

(6)代入( 2 )得

(7)

(7) 代入( 3 )得

(8)

(8)代入( 4 )得

(9)

(9) 代入(5)得

(10)

方程(10)是二元一次不定方程, 它的解有无数个.

由观察可知, 时,

从而得

,

如果取寸为单位长（这比较符合实际），就得原书的答案.

这个不定方程组是世界上最早的一个.

这以后，我国数学家继续对不定方程进行了研究，其中最著名的是公元五世纪《张丘建算经》上记载的”百鸡问题“.

古文: 今有鸡翁一，值钱五; 鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?

现代文：公鸡一只值钱五，母鸡一只值钱三，小鸡三只值钱一.今有一百钱，买鸡一百只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?

《算经》上给了解法和答案，而且答案极其完善，这说明我国研究不定方程已达到相当高的水平.

而且百鸡问题在中国数学史上具有隽永的魅力，历代文献不乏记载，并且百鸡问题在世界上流传也很广.百鸡问题是研究中世纪数学交流的一条重要线索.

你来挑战一下”百鸡问题“吧！

参考文献

[1] 夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.