一桩盗窃案

早在公元四世纪前，我国数学著作 《孙子算经》中就提出过著名的“孙子问题”：

"今有物不知其数, 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"

也就是说

“有一数, 用3除它余2，用5除它余3，用7除它余 2，求这个数.”

用现代数学符号来记就是: 求一最小正整数 , 满足联立一次同余式:

这里，符号表示: 除以余.

一般地, 符号 表示: 除以 余r 或者说, 与 同除以, 其余数相等.

这个问题怎么求解呢？需要用到大衍求一术和中国剩余定理.

大衍求一术

什么叫大衍求一术呢？通俗讲就是求”一个数的多少倍除以另一数, 所得余数为”的方法,即求“ 中的的方法. 称为乘率.

大衍求一术是公元1247年，南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书记载的一种著名的方法，他用这种方法解联立一次同余式问题，获得了很好的效果，给中国和世界数学史增添了光辉的一页.

例如：求解: mod 83.

即2970的多少倍除以83，所得余数为1?

具体操作步骤如下：

由此得出 注：当 左式的余数为1，且n为偶数时，那么

当 左式的余数为1，且n为奇数时，那么

大衍求一术和现代的求最大公约数的辗转相除法类似，至于具体原理，在此不再说明，有兴趣的可查阅参考文献.

孙子问题求解

回到“孙子问题”：“有一数, 用除它余，用除它余，用除它余，求这个数.”

“第一步，先将问题转化为求三个数，分别是

①除余，和能除尽；②除余,和 能除尽；③除余, 和 能除尽.

①这个问题就是求解同余式 mod 3， 我们用大衍求一术来解

所以，,显然.

也就是被除余.

②除余,和 能除尽，这个可以猜一下，就是符合条件最小的数，所以不需要用大衍求一术求解了.也就是被除余.

③同②，除余, 和 能除尽, 这个数是.也就是被除余.

第二步，①被除余, 于是被除余. ②被除余,于是被除余. ③被除余，于是被除余.

也就是用70乘以“用 3 除所得的余数 2”得 140，21 乘以 “用5除所得的余数3”得63,15乘以“用7除所得的余数2”得30,然后加起来得233.

注意到是互为质数的，因此总和是满足题目条件的一个数.

又 于是一般的通解为 满足条件的最小正整数为

其实第二步，就是应用“中国剩余定理”：下列联立一次同余式

的解为 (其中 为整数)

在《数书九章》里记录了一桩盗窃案问题，我们把它作为今日的挑战题，请你化身宋慈来查案吧！

参考文献

[1] 夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.