数轴上的小球

在我们生活的自然界和人类活动中, 很多现象的发展和演变通常伴随着数学规律的存在. 而微分方程则是描述这些规律的一种强大工具, 它们承载着揭示自然之谜的力量. 本文将通过一个扫雪机扫雪的例子来探索微分方程的奥秘, 从而揭示微分方程在科学、工程和日常生活中的重要性.

微分方程是关于未知函数及其导数的方程. 它们以变量的导数和函数值之间的关系来描述自然系统的演变规律. 我们来看这样一个问题：

著名的扫雪机问题

符号说明和模型建立

为了解决这个问题, 我们先设置一些变量的符号：

：扫雪机行驶的时间(小时).

：扫雪机行驶的距离(千米).

：积雪的厚度.

：扫雪机行驶前降雪的时长.

根据题意, 下雪的速度是恒定的, 因此积雪的厚度是一个线性函数, 即有

两边积分得,

由于扫雪机出发前已经下了小时的雪, 所以

进一步有.

又由于扫雪机行驶的速度与雪的厚度成反比, 因此

其中为常数.

把代入上式得

两边同时积分得

模型求解

由于扫雪车在第一个小时内行驶了两千米, 因此, 代入上式得

由于扫雪车在第二个小时内行驶了一千米, 因此, 即

联立两式得

化简, 得

解得或(舍去).

因此小时, 即分钟.

也就是说扫雪机出发前37分钟开始下雪的.

这样我们通过建立微分方程, 通过分离变量然后求积分, 再结合初始条件最终解决了问题.

可以看到微分方程是不可或缺的数学工具之一, 因此对其研究非常重要. 它们的研究和应用不仅推动着科学的进步, 也为我们理解世界和改善生活提供了重要的帮助.