导数

摩天轮的影子：简谐振动的物理机制与数学本质

摩天轮的影子：简谐振动的物理机制与数学本质

慕容玖
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摩天轮的投影为何呈直线往复运动？本文从牛顿力学与常微分方程出发，严格推导圆周运动投影与简谐振动的等价性，揭示周期往复运动的底层数学规律。

学了导数，证明了<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg aria-label="$2=1$" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.28ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2333.6 748"><title>$2=1$</title><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1833.6,0)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>？

学了导数，证明了？

慕容玖
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一个关于 $x^2$ 的离散加法求导悖论，不仅揭示了乘积求导法则的几何本质，更划定了微积分操作中“连续”与“离散”的严密边界。

数轴上的小球

数轴上的小球

Campanulata
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小球从数轴的刻度1位置运动到刻度10位置需要多久?

关于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg aria-label="$e$" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.054ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 466 453"><title>$e$</title><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>的运算

关于的运算

Campanulata
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你能发现其中的规律从而求出这个无穷多项乘积和吗?

抛物线上的圆

抛物线上的圆

Campanulata
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抛物线和圆之间的区域面积有多大?