掷偶数点

掷一个均匀的普通骰子, 直到掷出 6为止, 在所有先前的掷骰（如果有的话）都是偶数的情况下, 问预期的掷骰次数是多少（包括 6 的掷骰）？

这个问题来自数学家 Elchanan Mossel. 数学家 Gil Kalai 将这个谜题发布到他的博客Combinatorics , 并通过统计读者选择的答案来测试他们的直觉. 博客内容经常涉及研究生数学的主题, 因此可以说它的读者在数学上非常出色. 但令人惊讶的是, 超过 50% 的人选择了相同的错误答案, 只有大约 18% 的人得到了正确答案. 所以可以说, 这是一个反直觉的概率谜题. 那么你能弄清楚吗？

超过 50% 的人选择的错误答案是3. 为什么呢？

他们认为在掷出偶数的条件下掷出 6 的概率为：

由于掷骰子遵循几何分布, 因此特定结果的预期掷骰数是平均值的倒数. 于是, 期望为

但这是错误的！这其实是下面这个问题的正确答案：掷一个只有三个面且分别标有偶数 2, 4, 6 的均匀的骰子, 掷多少次才能掷出 6？(掷出6点)

而本文开头的这个谜题提出的是一个不同的问题：它问的是掷一个标准的骰子直到你得到 6, 然后只考虑掷出 6 之前的偶数（2 和 4）的掷骰序列.

细微的差别改变了期望, 现在让我们来分析一下.

由于我们研究的是只掷偶数直到掷出 6, 所以我们只能掷出 2 和 4, 直到最终掷出 6.

换句话说, 掷骰子的结果是最终以 6 结尾的 2 和 4 序列. 我们感兴趣的是序列的平均长度, 包括最后的 6.

但是 6 并没有什么特别之处. 由于每个投掷出的数字机会均等, 因此序列也可以以 1, 3 或 5 结尾, 并且它也将具有相同的平均长度.

所以问题转化为：在我们得到 1, 3, 5 或 6 之前, 之前所有的掷骰都涉及 2 或 4, 那么预期的掷骰次数是多少 ？

你可能会“直观地”思考如下, 掷出 1, 3, 5 或 6 的概率是 , 因此期望是倒数, 即 . 这是正确的答案. 但是由于我们的直觉已经把我们引向了错误的答案, 因此我们需要用另一种方法来确定这是正确的答案. 那么你有好的方法解出这个问题吗？

今日挑战题等着你.