拉马努金无限嵌套

“他知识不足的程度跟知识的深厚都让人很吃惊. 他是能够发现模方程和定理的人……到达前所未闻的地步，他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题中级数的主要项；但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理，对复变函数只有非常模糊的概念……”

这是哈代对拉马努金的一段评论.

拉马努金是一个具有传奇色彩的印度数学家. 他惯以直觉（或称为数感）导出公式，不喜欢做证明，而他的理论在事后往往被证明是对的. 他所留下的尚未被证明的公式，启发了几位菲尔兹将获得者的工作. 1997年，《拉马努金期刊》（Ramanujan Journal）创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文.

今天的挑战题就是拉马努金100年前在印度数学会杂志上提出的问题，我们给出一个公式作为提示.

公式：对于任何非负实数都有

下面给出证明:

那么你可以用这个公式解决今天的挑战题吗?