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数学王子高斯用巧妙的办法快速计算出到的和, 这个故事大家都知道. 那么这个巧妙的计算方法背后隐含的数学原理是什么呢？首尾相加这个方法碰到奇数项相加的时候会有点小麻烦, 这个方法有更好的表示形式吗? 有, 那就是倒序相加法.

举个简单的例子, 已知

倒序重写有

两式相加得

$项$

于是

上面这个过程就是倒序相加法, 连续的自然数求和可以用倒序相加法, 更一般的, 倒序相加法可以用于等差数列求和. 下面我们来看如何用倒序相加法给出等差数列的求和公式.

等差数列首项为公差为，则有

于是

其中

即项数和为的两项和都相等为一个固定值.

于是前项和为

倒序重写有

两式对应相加得

这就是等差数列的求和公式.

回顾整个推导过程, 可以发现倒序相加法其实利用了等差数列的对称性, 通过将等差数列按照首项和末项, 次项和倒数第二项等对应位置的数进行相加, 从而简化计算. 那么倒序相加法还有其他应用的场景吗? 倒序相加法这个方法能推广吗?