抛硬币赢奖金

这是牛津大学的一道面试题：抛硬币游戏.

有一枚硬币, 抛出正面和反面的概率分别是

如果你扔出正面, 就能得到1元钱奖金, 并且游戏继续, 如果你扔出反面, 则没有奖金并且游戏结束.

那么在这个游戏中, 你预期能得到的奖金是多少？

动手算

根据题意, 只要扔出反面游戏就结束, 因此扔出的硬币正反面情况有：

反, 正反, 正正反, 正正正反, ,

不妨记随机变量为抛硬币赢得游戏奖金,

比如, 奖金数为3元对应抛硬币的结果为 {正正正反}，概率为

因此奖金的期望为

根据题意, 抛出正面和反面的概率分别是 因此

化简后有

进一步求和,

记,

等式两边同乘以t, 则有

两式相减得,

由于,因此根据无穷递减等比数列和存在, 可得

因此.

动脑想

事实上从整体来考虑, 当第一次抛硬币时, 结果可能是反面朝上, 游戏结束, 也可能是正面朝上, 得到1元钱, 并且游戏继续. 而接下来是完全相同的游戏, 具有与之前相同的期望 , 只是你的口袋里已经有 1元, 所以你现在可以期望赢得. 因此我们可以将预期奖金写成如下公式：

因此有等式

解此方程有.

这个结论跟上面的结论是一致的, 但计算过程简单很多啊.

特殊情况

如果硬币是均匀的, 也就是抛出正面和反面的概率都是, 那么奖金的期望值为元.

那么如果这枚硬币不太均匀, 抛出正面和反面的概率分别是. 那么预期能得到多少奖金呢？