3阶幻方有多少个

3阶幻方是指将数字1-9填入一个九宫格, 使得每行每列对角线上的数字之和都相等. 我们很容易就能写出两个符合条件的3阶幻方, 比如：

仔细观察这两个幻方, 会发现两者具有上下对称关系. 或者说一个幻方关于水平方向翻转可以得到另一个.

那么将一个幻方经过不同的翻转变换能得到多少个新的幻方呢？

我们知道正方形总共有4条对称轴, 分别为竖直方向, 水平方向, 主对角线(左上到右下), 副对角线(右上到左下). 用来表示这4种情况, 具体的变换结果如下,

除了通过翻转变换可以生成新的幻方, 那么还有别的方法吗？

有, 那就是旋转变换.

对于正方形, 旋转 , , , , 正方形还是正方形.

由于角度加减是一样的效果, 所以我们只考虑旋转角度为, , , , 这4种旋转变换, 并且只考虑逆时针方向旋转.

我们用, , , 来表示上面4种旋转.

具体的变换结果如下：

这样我们得到了8个幻方.

直观上看没有其他还原为正方形的变换了, 那么一个很自然的问题是,

把生成的幻方再次进行旋转或翻转, 还能生成新的幻方吗？

或者说4个翻转变换和4个旋转变换先后作用到初始幻方, 能生成新的幻方吗？

变换的先后作用称为复合运算. 将变换复合, 记作, 表示先作用变换, 再作用变换.

举个例子,

将初始幻方先旋转, 再水平翻转, 结果如下,

这恰恰说明

可以验证在8个变换中, 任选2个变换复合作用于一个幻方, 得到的幻方必然还在这8个幻方中.

验证的表格如下： (其中表格中的元素对应的是行, 列)

所以将一个3阶幻方经过旋转或翻转变换后, 有且仅有8个幻方.(包括自身)

那么你现在可以算出3阶幻方总共有多少个吗？