重叠的图形

如图, 大正方形的一个顶点恰好落在小正方形的中心, 现在绕着该顶点旋转大正方形, 那么这两个正方形总有部分是重叠的.

随着大正方形的旋转, 重叠部分的图形也在变化, 有时候是正方形, 有时候是三角形, 有时候是不规则的四边形. 那么面积是怎么变化的？

如果有很多不同的可能性时, 从最简单的情形入手能帮助我们更好的看清楚问题. 不妨从正方形入手.

由于不知道大小正方形的边长, 不妨设大正方形和小正方形的边长分别为.

那么重叠部分的正方形边长为, 因此其面积为

现在让我们看看重叠区域是三角形的情况.

三角形的一个顶点也是大正方形的一个顶点, 所以它的角是直角. 由于这个顶点位于小正方形的中心, 而其他的顶点恰好落在小正方形的顶点上. 所以三角形是等腰三角形, 即等腰直角三角形, 且斜边长度为, 腰长为.

因此三角形的面积是

可以看到以上两种情况下, 重叠区域的面积都是小正方形的面积的. 当然仅仅看到这种情况发生了两次并不足以断定它“总是”会发生. 让我们尝试用一些逻辑推理来超越这两种特殊情况.

如图, 如果把大正方形的边延长, 即把小正方形分成了四个部分. 你观察到了什么?是不是可以跳过面积的计算? 不管这个大正方形如何旋转, 小正方形和重叠部分的图形是否会“永远”保持这种关系呢?

那么其他正多边形也有类似的情况吗?